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欧拉函数 <math>\varphi(n)</math> 表示 <math>1\sim n</math> 中与 <math>n</math> 互质的数的个数。

== 求单个欧拉函数 ==

<math>O(\sqrt{n})</math>

<math>\varphi(n)=n\times \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)</math>

<syntaxhighlight lang="cpp">
long long phi(long long n)
{
    long long ans = n;
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++)
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n > 1)
        ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}
</syntaxhighlight>

== 线性筛求欧拉函数 ==

<math>O(n)</math>，同时求出 <math>1\sim n</math> 所有数的欧拉函数值。

<syntaxhighlight lang="cpp">
const int MAXN = 40000;
bool p[MAXN + 5];
int phi[MAXN + 5];
vector<int> pri;

void get_phi(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = true;
    p[0] = p[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (p[i])
        {
            pri.push_back(i);
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; j < pri.size(); j++)
        {
            if (1LL * i * pri[j] > n)
                break;
            p[i * pri[j]] = false;
            if (i % pri[j] == 0)
            {
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            else
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}
</syntaxhighlight>

== 欧拉函数性质 ==

- 若 <math>p</math> 是质数，<math>\varphi(p)=p-1</math>
- 若 <math>p</math> 是质数，<math>\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}</math>
- 若 <math>\gcd(a,b)=1</math>，则 <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)</math>（积性函数）
- <math>\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n</math>

== 欧拉定理 ==

若 <math>\gcd(a,m)=1</math>，则：

<math>a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m</math>

当 <math>m</math> 为质数时就是费马小定理。


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