05-算法模板/07-线性基

线性基可以用于处理异或相关问题，如求最大异或和、第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 小异或和等。

模板

P3812. 【模板】线性基

给定 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得它们的异或和最大。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXL = 50;

struct LinearBasis
{
    long long a[MAXL + 1];
    LinearBasis()
    {
        std::fill(a, a + MAXL + 1, 0);
    }
    LinearBasis(long long *x, int n)
    {
        build(x, n);
    }
    void insert(long long t)
    {
        for (int j = MAXL; j >= 0; j--)
        {
            if (!t)
                return;
            if (!(t & (1ll << j)))
                continue;
            if (a[j])
                t ^= a[j];
            else
            {
                for (int k = 0; k < j; k++)
                    if (t & (1ll << k))
                        t ^= a[k];
                for (int k = j + 1; k <= MAXL; k++)
                    if (a[k] & (1ll << j))
                        a[k] ^= t;
                a[j] = t;
                break;
            }
        }
    }
    void build(long long *x, int n)
    {
        std::fill(a, a + MAXL + 1, 0);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            insert(x[i]);
    }
    long long queryMax()
    {
        long long res = 0;
        for (int i = 0; i <= MAXL; i++)
            res ^= a[i];
        return res;
    }
    void mergeFrom(const LinearBasis &other)
    {
        for (int i = 0; i <= MAXL; i++)
            insert(other.a[i]);
    }
};

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    long long n, x;
    cin >> n;
    LinearBasis lb;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> x;
        lb.insert(x);
    }
    cout << lb.queryMax() << "\n";
    return 0;
}

使用说明

- insert(x)：向线性基中插入一个数 [math]\displaystyle{ x }[/math] - queryMax()：查询能表示出的最大异或和 - mergeFrom(other)：合并另一个线性基

时间复杂度：插入 [math]\displaystyle{ O(\log \max) }[/math]，查询 [math]\displaystyle{ O(\log \max) }[/math]。