反演

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组合数 [math]\displaystyle{ C_n^m }[/math] 常用符号 [math]\displaystyle{ \dbinom{n}{m} }[/math] 来表示，读作“[math]\displaystyle{ n }[/math] 选 [math]\displaystyle{ m }[/math]”。

组合数经典性质

选出 [math]\displaystyle{ m }[/math] 相当于选出 [math]\displaystyle{ n-m }[/math] 个排除。

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m} }[/math]

组合数的递推式（杨辉三角）

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m}+\dbinom{n-1}{m-1} }[/math]

基础性质（杨辉三角的一行、[math]\displaystyle{ (1+1)^n }[/math]）

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dots+\dbinom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}=2^n }[/math]

范德蒙德恒等式

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{m+n}{k} }[/math]

二项式定理

[math]\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^{n-i}b^i }[/math]

二项式反演

记 [math]\displaystyle{ f_n }[/math] 表示恰好使用 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个不同元素形成特定结构的方案数，[math]\displaystyle{ g_n }[/math] 表示从 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个不同元素中选出 [math]\displaystyle{ i \geq 0 }[/math] 个元素形成特定结构的总方案数．

若已知 [math]\displaystyle{ f_n }[/math] 求 [math]\displaystyle{ g_n }[/math]，那么显然有：

[math]\displaystyle{ g_n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} f_i }[/math]

若已知 [math]\displaystyle{ g_n }[/math] 求 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]，那么：

[math]\displaystyle{ f_n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} (-1)^{n-i} g_i }[/math]

上述已知 [math]\displaystyle{ g_n }[/math] 求 [math]\displaystyle{ f_n }[/math] 的过程，就称为“二项式反演”．