06-数学相关/07-组合数与反演

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组合数 [math]\displaystyle{ C_n^m }[/math] 常用符号 [math]\displaystyle{ \dbinom{n}{m} }[/math] 来表示，读作"[math]\displaystyle{ n }[/math] 选 [math]\displaystyle{ m }[/math]"。

组合数经典性质

选出 [math]\displaystyle{ m }[/math] 相当于选出 [math]\displaystyle{ n-m }[/math] 个排除：

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m} }[/math]

组合数的递推式（杨辉三角）：

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m}+\dbinom{n-1}{m-1} }[/math]

基础性质（杨辉三角的一行）：

[math]\displaystyle{ \dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+\dots+\dbinom{n}{n}=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}=2^n }[/math]

范德蒙德恒等式：

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{m+n}{k} }[/math]

二项式定理

[math]\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^{n-i}b^i }[/math]

二项式反演

记 [math]\displaystyle{ f_n }[/math] 表示恰好使用 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个不同元素形成特定结构的方案数，[math]\displaystyle{ g_n }[/math] 表示从 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个不同元素中选出 [math]\displaystyle{ i \geq 0 }[/math] 个元素形成特定结构的总方案数。

若已知 [math]\displaystyle{ f_n }[/math] 求 [math]\displaystyle{ g_n }[/math]：

[math]\displaystyle{ g_n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} f_i }[/math]

若已知 [math]\displaystyle{ g_n }[/math] 求 [math]\displaystyle{ f_n }[/math]（二项式反演）：

[math]\displaystyle{ f_n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} (-1)^{n-i} g_i }[/math]

狄利克雷卷积

数论函数 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] 和 [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] 的 Dirichlet 卷积，记作 [math]\displaystyle{ f \ast g }[/math]，定义为：

[math]\displaystyle{ (f \ast g)(n) = \sum_{k\mid n}f(k)g\left(\dfrac{n}{k}\right) = \sum_{k\ell=n}f(k)g(\ell) }[/math]

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math] 定义为：

[math]\displaystyle{ \mu(n)= \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\text{ 是某个质数平方的倍数},\\ (-1)^k,&n \text{ 是 } k \text{ 个不同质数的乘积}. \end{cases} }[/math]

莫比乌斯反演

设 [math]\displaystyle{ f(n),g(n) }[/math] 是两个数论函数：

[math]\displaystyle{ f(n) = \sum_{d\mid n}g(d) \iff g(n) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\dfrac{n}{d}\right)f(d) }[/math]

扩展

[math]\displaystyle{ f(n) = \sum_{n\mid d}g(d) \iff g(n) = \sum_{n\mid d}\mu\left(\dfrac{d}{n}\right)f(d) }[/math]

组合数计算

递推求组合数

const int MAXN = 2000;
int C[MAXN + 5][MAXN + 5];

void init()
{
    for (int i = 0; i <= MAXN; i++)
    {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MOD;
    }
}

阶乘逆元求组合数

// fact[i] = i! % MOD, invFact[i] = (i!)^-1 % MOD
int C(int n, int m)
{
    if (n < m || m < 0)
        return 0;
    return fact[n] * invFact[m] % MOD * invFact[n - m] % MOD;
}